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流體人物專欄

歐拉(1707-1783)

歐拉(L.Euler,1707.4.15-1783.9.18)是瑞士數學家。生于瑞士的巴塞爾(Basel),卒于圣彼得堡(St. Petersburg)。父親保羅·歐拉是位牧師,喜歡數學,所以歐拉從小就受到這方面的熏陶。但父親卻執意讓他攻讀神學,以便將來接他的班。幸運的是,歐拉并沒有走父親為他安排的路。父親曾在巴塞爾大學上過學,與當時著名數學家約翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667.8.6-1748.1.1)及雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli,1654.12.27-1705.8.16)有幾分情誼。由于這種關系,歐拉結識了約翰的兩個兒子:擅長數學的尼古拉(Nicolaus Bernoulli,1695-1726)及丹尼爾(Daniel Bernoulli,1700.2.9-1782.3.17)兄弟二人,(這二人后來都成為數學家)。他倆經常給小歐拉講生動的數學故事和有趣的數學知識。這些都使歐拉受益匪淺。1720年,由約翰保舉,才13歲的歐拉成了巴塞爾大學的學生,而且約翰精心培育著聰明伶俐的歐拉。當約翰發現課堂上的知識已滿足不了歐拉的求知欲望時,就決定每周六下午單獨給他輔導、答題和授課。約翰的心血沒有白費,在他的嚴格訓練下,歐拉終于成長起來。他17歲的時候,成為巴塞爾有史以來的第一個年輕的碩士,并成為約翰的助手。在約翰的指導下,歐拉從一開始就選擇通過解決實際問題進行數學研究的道路。1726年,19歲的歐拉由于撰寫了《論桅桿配置的船舶問題》而榮獲巴黎科學院的資金。這標志著歐拉的羽毛已豐滿,從此可以展翅飛翔。

歐拉的成長與他這段歷史是分不開的。當然,歐拉的成才還有另一個重要的因素,就是他那驚人的記憶力!他能背誦前一百個質數的前十次冪,能背誦羅馬詩人維吉爾(Virgil)的史詩Aeneil,能背誦全部的數學公式。直至晚年,他還能復述年輕時的筆記的全部內容。高等數學的計算他可以用心算來完成。

盡管他的天賦很高,但如果沒有約翰的教育,結果也很難想象。由于約翰·伯努利以其豐富的閱歷和對數學發展狀況的深刻的了解,能給歐拉以重要的指點,使歐拉一開始就學習那些雖然難學卻十分必要的書,少走了不少彎路。這段歷史對歐拉的影響極大,以至于歐拉成為大科學家之后仍不忘記育新人,這主要體現在編寫教科書和直接培養有才化的數學工作者,其中包括后來成為大數學家的拉格朗日(J.L.Lagrange,1736.1.25-1813.4.10)。

歐拉本人雖不是教師,但他對教學的影響超過任何人。他身為世界上第一流的學者、教授,肩負著解決高深課題的重擔,但卻能無視“名流”的非議,熱心于數學的普及工作。他編寫的《無窮小分析引論》、《微分法》和《積分法》產生了深遠的影響。有的學者認為,自從1784年以后,初等微積分和高等微積分教科書基本上都抄襲歐拉的書,或者抄襲那些抄襲歐拉的書。歐拉在這方面與其它數學家如高斯(C.F.Gauss,1777.4.30-1855.2.23)、牛頓(I.Newton,1643.1.4-1727.3.31)等都不同,高斯等人所寫的書一是數量少,二是艱澀難明,別人很難讀懂,而歐拉的文字則輕松易懂,從來不壓縮字句,總是津津有味地把他那豐富的思想和廣泛的興趣寫得有聲有色,堪稱這方面的典范。他用德、俄、英文發表過大量的通俗文章,還編寫過大量中小學教科書。他編寫的初等代數和算術的教科書考慮細致,敘述有條有理。他用許多新的思想的敘述方法,使得這些書既嚴密又易于理解。歐拉最先把對數定義為乘方的逆運算,并且最先發現了對數是無窮多值的。他證明了任一非零實數R有無窮多個對數。歐拉使三角學成為一門系統的科學,他首先用比值來給出三角函數的定義,而在他以前是一直以線段的長作為定義的。歐拉的定義使三角學跳出只研究三角表這個圈子。歐拉對整個三角學作了分析性的研究。在這以前,每個公式僅從圖中推出,大部分以敘述表達。歐拉卻從最初幾個公式解析地推導出了全部三角公式,還獲得了許多新的公式。歐拉用a 、b 、c 表示三角形的三條邊,用A、B、C表示第個邊所對的角,從而使敘述大大地簡化。歐拉得到的著名的公式,又把三角函數與指數函數聯結起來。

在普及教育和科研中,歐拉意識到符號的簡化和規則化既有助于學生的學習,又有助于數學的發展,所以歐拉創立了許多新的符號。如用sin 、cos 等表示三角函數,用 e 表示自然對數的底,用f(x) 表示函數,用 ∑表示求和,用 i表示虛數等。圓周率π雖然不是歐拉首創,但卻是經過歐拉的倡導才得以廣泛流行。而且,歐拉還把e 、π 、i 統一在一個令人叫絕的關系式中。

歐拉不但重視教育,而且重視人才。當時法國的拉格朗日只有19歲,而歐拉已48歲。拉格朗日與歐拉通信討論“等周問題”,歐拉也在研究這個問題。后來拉格朗日獲得成果,歐拉就壓下自己的論文,讓拉格朗日首先發表,使他一舉成名。

歐拉19歲大學畢業時,在瑞士沒有找到合適的工作。1727年春,在巴塞爾他試圖擔任空缺的教研室主任職務,但沒有成功。這時候,俄國的圣彼得堡科院剛建立不久,正在全國各地招聘科學家,廣泛地搜羅人才。已經應聘在彼得堡工作的丹爾·伯努利深知歐拉的才能,因此,他竭力聘請歐拉去俄羅斯。在這種情況下,歐拉離開了自己的祖國。由于丹尼爾的推薦,1727年,歐拉應邀到圣彼得堡做丹尼爾的助手。在圣彼得堡科學院,他順利地獲得了高等數學副教授的職位。1731年,又被委任領導理論物理和實驗物理教研室的工作。1733年,年僅26歲的歐拉接替回瑞士的丹尼爾,成為數學教授及彼得堡科學院數學部的領導人。
在這期間,歐拉勤奮地工作,發表了大量優秀的數學論文,以及其它方面的論文、著作。

古典力學的基礎是牛頓奠定的,而歐拉則是其主要建筑師。1736年,歐拉出版了《力學,或解析地敘述運動的理論》,在這里他最早明確地提出質點或粒子的概念,最早研究質點沿任意一曲線運動時的速度,并在有關速度與加速度問題上應用矢量的概念。

同時,他創立了分析力學、剛體力學,研究和發展了彈性理論、振動理論以及材料力學。并且他把振動理論應用到音樂的理論中去,1739年,出版了一部音樂理論的著作。1738年,法國科學院設立了回答熱本質問題征文的獎金,歐拉的《論火》一文獲獎。在這篇文章中,歐拉把熱本質看成是分子的振動。

1759年,歐拉將牛頓第二定律應用于流體動力學分析,建立理想流體的歐拉方程。用微分方程描述流體運動是流體力學歷史上的重大突破,歐拉方程雖然沒有考慮粘性力作用,但仍然在流體力學中發揮著巨大作用,至今仍然是流體力學教科書中的主要內容,并在航空航天領域中得到廣泛應用。

歐拉研究問題最鮮明的特點是:他把數學研究之手深入到自然與社會的深層。他不僅是位杰出的數學家,而且也是位理論聯系實際的巨匠,應用數學大師。他喜歡搞特定的具體問題,而不象現代某些數學家那樣,熱衰于搞一般理論。

正因為歐拉所研究的問題都是與當時的生產實際、社會需要和軍事需要等緊密相連,所以歐拉的創造才能才得到了充分發揮,取得了驚人的成就。歐拉在搞科學研究的同時,還把數學應用到實際之中,為俄國政府解決了很多科學難題,為社會作出了重要的貢獻。如菲諾運河的改造方案,宮延排水設施的設計審定,為學校編寫教材,幫助政府測繪地圖;在度量衡委員會工作時,參加研究了各種衡器的準確度。另外,他還為科學院機關刊物寫評論并長期主持委員會工作。他不但為科學院做大量工作,而且擠出時間在大學里講課,作公開演講,編寫科普文章,為氣象部門提供天文數據,協助建筑單位進行設計結構的力學分析。1735年,歐拉著手解決一個天文學難題──計算彗星的軌跡(這個問題需經幾個著名的數學家幾個月的努力才能完成)。由于歐拉使用了自己發明的新方法,只用了三天的時間。但三天持續不斷的勞累也使歐拉積勞成疾,疾病使年僅28歲的歐拉右眼失明。這樣的災難并沒有使歐拉屈服,他仍然醉心于科學事業,忘我地工作。但由于俄國的統治集團長期的權力之爭,日益影響到了歐拉的工作,使歐拉很苦悶。事也湊巧,普魯士國王腓特烈大帝(Frederick the Great,1740-1786在位)得知歐拉的處境后,便邀請歐拉去柏林。盡管歐拉十分熱愛自己的第二故鄉(在這里他曾工作生活了14年),但為了科學事業,他還是在1741年暫時離開了圣彼得堡科學院,到柏林科學院任職,任數學物理所所長。1759年成為柏林科學院的領導人。在柏林工作期間,他并沒有忘記俄羅斯,他通過書信來指導他在俄羅斯的學生,并把自己的科學著作寄到俄羅斯,對俄羅斯科學事業的發展起了很大作用。

他在柏林工作期間,將數學成功地應用于其它科學技術領域,寫出了幾百篇論文,他一生中許多重大的成果都是這期間得到的。如:有巨大影響的《無窮小分析引論》、《微分學原理》,既是這期間出版的。此外,他研究了天文學,并與達朗貝爾(I.L.R.D'Alembert,1717.11.16-1783.10.29)、拉格朗日一起成為天體力學的創立者,發表了《行星和彗星的運動理論》、《月球運動理論》、《日蝕的計算》等著作。在歐拉時代還不分什么純粹數學和應用數學,對他來說,整個物理世界正是他數學方法的用武之地。他研究了流體的運動性質,建立了理想流體運動的基本微分方程,發表了《流體運動原理》和《流體運動的一般原理》等論文,成為流體力學的主要奠基人之一。他不但把數學應用于自然科學,而且還把某一學科所得到的成果應用于另一學科。比如,他把自己所建立的理想流體運動的基本方程用于人體血液的流動,從而在生物學上添上了他的貢獻,又以流體力學、潮汐理論為基礎,豐富和發展了船舶設計制造及航海理論,出版了《航海科學》一書,并以一篇《論船舶的左右及前后搖晃》的論文,榮獲巴黎科學院獎金。不僅如此,他還為普魯士王國解決了大量社會實際問題。1760年到1762年間,歐拉應親王的邀請為夏洛特公主函授哲學、物理學、宇宙學、神學、化理學、音樂等,這些通信充分體現了歐拉淵博的知識、極高的文學修養、哲學修養。后來這些通信整理成《致一位德國公主的信》,1768年分三卷出版,世界各國譯本風靡,一時傳為佳話。

自從1741年歐拉離開彼得堡以后,俄國的政局一直不好,政權幾次更迭,最后落入葉卡捷林娜二世的手中,她吸取了以往的教訓,開始致力于文治武功。她一面與伏爾泰、狄德羅等法國啟蒙學者通信,一面又四方招聘有影響的科學家去彼得堡科學院任職。歐拉自然成了她主要聘請的對象。1766年,年已花甲的歐拉應邀回到彼得堡,這次俄國為他準備了優越的工作條件。

這時歐拉的科學研究工作已經是碩果累累,思想也已經成熟。除了一些專題還需繼續研究外,他希望能在晚年對過去的成就作系統的總結,出版幾部高質量的著作。然而,厄運再次向他襲來。由于俄羅斯氣候嚴寒,以及他工作的勞累,歐拉的左眼又失明了,從此歐拉陷入伸手不見五指的黑暗之中。但歐拉是堅強的,他用口授、別人記錄的方法堅持寫作。他先集中精力撰寫了《微積分原理》一書,在這部三卷本巨著中,歐拉系統地闡述了微積分發明以來的所有積分學的成就,其中充滿了歐拉精辟的見解。1768年,《積分學原理》第一卷在圣彼得堡出版。1770年第三卷出版。同年,他又口述寫成《代數學完整引論》,有俄文、德文、法文版,成為歐洲幾代人的教科書,正當歐拉在黑暗中搏斗時,厄運又一次向他襲來。1771年,圣彼得堡一場大火,秧及歐拉的住宅,把歐拉包圍在大火中。在這危急的時刻,是一位仆人冒著生命危險把歐拉從大火中背出來。歐拉雖然幸免于難,可他的藏書及大量的研究成果都化為灰燼。種種磨難,并沒有把歐拉搞垮。大火以后他立即投入到新的創作之中。資料被焚,他又雙目失明,在這種情況下,他完全憑著堅強的意志和驚人的毅力,回憶所作過的研究。歐拉的記憶力也確實罕見,他能夠完整地背誦出幾十年前的筆記內容,數學公式當然更能背誦如流。歐拉總是把推理過程想得很細,然后口授,由他的長子記錄。他用這種方法又發表了論文400多篇以及多部專著,這幾乎占他全部著作的半數以上。1774年,他把自己多年來研究變分問題所取得的成果集中發表一本書《尋求具有某種極大或極小性質的曲線的技巧》中。從而創立了一個新的分支──變分法。另外,歐拉對天文學中的“三體問題”月球運動及攝運問題進行了研究。后來,他解決了牛頓沒有解決的月球運動問題,首創了月球繞地球運動地精確理論。為了更好地進行天文觀測,他曾研究了光學,天文望遠鏡和顯微鏡。研究了光通過各種介質的現象和有關的分色效應,提出了復雜的物鏡原理,發表過有關光學儀器的專著,對望遠鏡和顯微鏡的設計計算理論做出過開創性的貢獻,在1771年他又發表了總結性著作《屈光學》。歐拉從19歲開始寫作,直到逝世,留下了浩如煙海的論文、著作,甚至在他死后,他留下的許多手稿還豐富了后47年的圣彼得堡科學院學報。就科研成果方面來說,歐拉是數學史上或者說是自然科學史上首屈一指的。

作為這樣一位科學巨人,在生活中他并不是一個呆板的人。他性情溫和,性格開朗,也喜歡交際。歐拉結過兩次婚,有13個孩子。他熱愛家庭的生活,常常和孩子們一起做科學游戲,講故事。

歐拉旺盛的精力和鉆研精神一直堅持到生命的最后一刻。1783年9月18日下午,歐拉一邊和小孫女逗著玩,一邊思考著計算天王星的軌跡,突然,他從椅子上滑下來,嘴里輕聲說:“我死了”。一位科學巨匠就這樣“停止了生命和計算”。

歷史上,能跟歐拉相比的人的確不多,也有的歷史學家把歐拉和阿基米德、牛頓、高斯列為有史以來貢獻最大的四位數學家,依據是他們都有一個共同點,就是在創建純粹理論的同時,還應用這些數學工具去解決大量天文、物理和力學等方面的實際問題,他們的工作是跨學科的,他們不斷地從實踐中吸取豐富的營養,但又不滿足于具體問題的解決,而是把宇宙看作是一個有機的整體,力圖揭示它的奧秘和內在規律。

由于歐拉出色的工作,后世的著名數學家都極度推崇歐拉。大數學家拉普拉斯(P.S.M.de Laplace,1749.3.23-1827.3.5)普說過:“讀讀歐拉,讀讀歐拉,他是我們在所有事情上的導師。”被譽為數學王子地高斯也普說過:“對于歐拉工作的研究,將仍舊是對于數學的不同范圍的最好的學校,并且沒有別的可以替代它”。

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